“Alla ricerca dell’ipotesi di Riemann” di Dan Rockmore

Il viaggio a oggi senza fine in una delle più grandi sfide della matematica

Il racconto di molte vite spese a caccia di una risposta che pare vicina, ma non si riesce mai a raggiungere

Dan Rockmore dedica un’intera opera all’Ipotesi di Riemann e agli studiosi e ricercatori che hanno dedicato gran parte della loro vita alla sua risoluzione.

L’ipotesi di Riemann, formulata per la prima volta nel 1859 da Bernhard Riemann, è considerata uno dei più importanti problemi irrisolti della matematica.

Rientra nel novero dei Millenium Problems, per la soluzione dei quali l’istituto matematico Clay ha offerto un premio di un milione di dollari ciascuno.

L’ipotesi di Riemann in poche parole (per quanto possibile)

Spiegare un problema matematico irrisolto da due secoli richiederebbe un libro dedicato, pertanto, per le finalità di quest’articolo, ci limiteremo a tracciarne sommariamente i confini.

Per evitare imprecisioni, ci affidiamo a una delle migliori spiegazioni divulgative disponibili in italiano, quella del Matematico Alessandro Zaccagnini, professore associato di Analisi Matematica rispettivamente nelle Università degli Studi di Padova e Parma, e reperibile sul blog Maddmath.

I passaggi estrapolati sono presentati come citazioni.

L’ipotesi di Riemann è una congettura che si concentra sulla distribuzione dei numeri primi, e in particolare

[…] la distribuzione degli zeri di una funzione di una variabile “complessa” detta zeta e che ha ormai preso il nome dallo stesso Riemann.

Dal punto di vista geometrico, possiamo esprimere la Congettura di Riemann dicendo che gli zeri della funzione zeta si trovano confinati su due rette nel piano complesso. Per quelli cosiddetti “banali” la dimostrazione risale allo stesso Riemann: la funzione zeta si annulla nei punti −2, −4, −6, −8, …; in altre parole, gli zeri banali si trovano tutti nella parte negativa dell’asse reale.

Gli altri zeri, quelli non banali, dovrebbero trovarsi tutti sulla retta dei numeri complessi di parte reale 12. Riemann dice che questa affermazione gli pare “molto probabile” e afferma di aver provato a dimostrarla, ma di aver rinunciato dopo qualche tentativo infruttuoso.

Ha calcolato personalmente la posizione di alcuni di questi zeri; fra i tanti che si sono cimentati, ricordiamo Alan Turing che ha scritto uno dei primi programmi per computer per determinare oltre 1100. Oggi se ne conoscono almeno diecimila miliardi e, manco a dirlo, si trovano tutti dove dovrebbero.

Per quanto riguarda la Congettura vera e propria, dato un numero intero N, e definito scarto il valore assoluto della differenza fra N e il logaritmo naturale del prodotto dei numeri primi che non superano N,

[…] lo scarto assoluto non supera la radice quadrata di N, moltiplicata, per la precisione, per il quadrato del logaritmo di N.

Enunciata in questo modo può non fare una grande impressione, ma si tratta di un risultato molto più forte di quello citato sopra, perché significa che lo scarto relativo tende a 0 piuttosto velocemente.

Fra l’altro, si può dimostrare che questo risultato è sostanzialmente ottimale, cioè che lo scarto assoluto è proprio dell’ordine di grandezza della radice quadrata di N per un’infinità di numeri interi N.

Alla ricerca dell’ipotesi di Riemann

Il testo parte trattando le vicende storiche e contestualizzando i macro concetti matematici che ruotano attorno alla materia trattata.

Successivamente ripercorre, in modo estremamente puntuale, riportando anche stralci di lettere e documenti, le vicende dei numerosi matematici che si sono cimentati con la dimostrazione della Congettura o Ipotesi di Riemann.

Colpisce come intere vite siano state spese contribuendo certamente alla ricerca, ma sommariamente in molti casi senza essere arrivati a avanzamenti significativi. Una vera vita di lotta intellettuale senza un epilogo.

Non mancano le riflessioni dell’autore, che comunque non inquinano il senso dell’opera o il punto di vista dei singoli ricercatori.

L’autore

Dan Rockmore è un professore di Matematica e Informatica che ha fatto importanti contributi nel campo delle scienze computazionali.

Attualmente, ricopre la posizione di Direttore dell’Istituto Neukom per le Scienze Computazionali presso il Dartmouth College.

Vanta un’educazione divisa tra Princeton e Harvard, dove ha ottenuto il Dottorato nel 1989.

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